20世纪有名数学家诺伯特。维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。
在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面讯问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的答复十分奇妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。全部会场上的人，都在议论他的年龄问题。
其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。
剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是精确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！
这个年仅18岁的少年博士，后来果然造诣了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。
数学神童维纳的年龄学到的不仅仅是评课
——《陈永明评议数学课》读后感
数学组 林挺春
虽已涉足数学教学领域二十余年，但每每提及“评课”，却始终感觉“迷茫”。在平日的教学工作中，不记得自己上过多少公开课，也记不清听过多少公开课，可是听到过有质量的、能够对自己有所启发的评课却是屈指可数。因此当我拿到这本《陈永明评议数学课》后，迫不及待地盼望能够从中吸取自己所缺少的知识。
翻开目录，一共七个部分，由于曾在高三从事教学工作，因此目光马上落在了和高三教学息息相关的第三（习题课）、第四（复习课）、第五（作业设计）和第六（试卷讲评课）部分。
每一篇课例都分为两个部分：第一部分是“评”，或详或略的课堂实录旁边作者陈永明教授用寥寥数语，或是赞美、或是质疑、或是建议、或是感受，给出及时而中肯的点评。第二部分是“议”，陈教授对整节课的设计、教授的方式方法、双基的落实、思想方法的渗透给出自己的看法和建议，有的甚至整顿出自己独到的见解和对解题方法的归类整顿。
一个接一个的案例，让我欲罢不能，一口吻读完这几个章节，有种豁然豁达的感觉。印在脑海中的那张评课打分表上的“教态”、“板书”、“多媒体的使用”……这些硬性指标渐渐模糊，引导我如何更深入、更理性地评价一节课，是陈老师透过一个个真实的数学小品所提炼出的对教材剖析的思考、对教授方法的思考、对例题设置的思考、对题型合理归纳的思考、对解题方法归类的思考、对各类课型不同处置方法的思考等等，等等。
当我合上书，慢慢回味案例中授课老师和陈教授对问题不同的处置方式，细细体会陈教授的每一句“评”和“议”，我突然发现这本书不仅教会我如何从不同的角度评价一节课，更重要的在于它从更高的层面领导我应当如何上好一节课，成为一名合格的、优秀的数学教师。下面几点是我最深的感受：
1.“症结是教师对数学的理解”。
同一节课由不同的老师上，会有不同的处置方法；同一个题目由不同的老师讲解，会有不同的剖析思路。这都是“仁者见仁、智者见者”的，没有谁对谁错，然而这背后却反映出不同的老师对数学有不同的理解。我们会发现经过一年、两年甚至三年后，学生就像老师的孩子，考虑问题的方式、剖析问题的思路、解题的格式甚至是行动方式、都和任课教师如出一辙，可见教师对学生的影响是不知不觉的、深入而又久远的。
正是基于这个原因，陈教授多次提到“症结是教师对数学的理解”。这个“理解”是多方面的、多角度、多层次的。
首先是教师对“教材”的理解。陈教授提出要“控制好数学的教育形态”之一是要对数学内在的构造要有深入的研讨。尤其作为一名高三的教师，应当对教材、各个知识点的能力要求（知道、理解、控制、利用）以及每个章节的知识构造，甚至是全部高中三年的数学知识框架和脉络了然于心，这样在教学是才干游刃有余，有的放矢。
其次是教师对“学生”的理解。陈教授提出要“控制好数学的教育形态”之二是要用学生易于接受的、有利于学生的方式进行教学。“铁打的学校，流水的兵”，学生年年在变，用一个固定的模式教授不同的学生显然不对。能够把握好学生的认知构造，控制学生的理解程度，对学生经常容易犯错的地方加以器重，那么我们的教学才干有针对性。
再次是教师对“题目”的理解。我也和陈教授书中提到的某些老师一样，曾经在选择例题时感觉这个也好，那个也不想放弃，感觉用好例题堆出来的一节课面面俱到，不会有疏漏，一定不会错。然而陈教授明确指出，题目不在多，而在精，在于类型。一道具有典范性、代表性的题目，剖析明确其本质，理解其剖析思路和解法，可以起到事半功倍的效果。如若能够变式拓展，或者一题多解，更可启发学生思维，激发学习兴趣。老校长说过一句话“选题目，要舍得”，我想这和陈教授的观点是一致的。
2. 要学生“减负”，教师首先要“增负”。
陈教授在书中多次提到“为了让学生跳出题海，要求我们教师先跳进题海”。在教材看似越来越简略的今天，学生的压力却越来越重，“减负”始终是个敏感的话题。怎么减、如何减，就数学而言，最直接的就是少点作业，少点题。然而要求学生控制的知识点、基本解题方法、各种能力的要求都必须通过一定量训练，这就有个题目“质量”的问题。现在有一种现象，抓来一本书，就让学生每个题目都完成，不管其中的良莠不齐。这样没有筛选的做题，使大部分学生糟蹋了很多的时间和精力，造诣却不见提高。如果教师首先“跳进题海”，对不同类型的问题进行归类整顿，“去芜存菁”，根据学生的认知程度按照层次编排，那么“减负”会真的成为现实。
3. 除了让学生会做题，重要的是培育终生受用的学习能力。
陈教授在不同的篇目中多次提到学生的“思维方式”、“表达能力”、“学习习惯”，我想这是要让数学教师要意识到，我们所做的不仅仅是培育学生基本数学素养，更是通过数学教学培育学生终生学习的能力。现在学得再好的学生，如果将来选择和理工科关系不大的专业，或是从事和理工无关的行业，那么用不了几年，高中所学的数学知识就会“还给老师”了。但是在学习数学的过程中所养成的严谨的思维方式、逻辑推理能力、自己独立研究问题的能力、知识迁移的能力，还有条理明确地剖析问题的方式是学生无论走到哪里都能够继续学习的武器。我想，这也应当是学校教育最根本的意义所在吧。
4.“要做创新性的教师，不能人云亦云”。
陈教授指出在借鉴他人经验的过程中不能“拿来主义”、“照搬主张”，一定要有自己独立的思考和探究。现在市场上林林种种的教辅书书往往都是教师案头的参考书，教师盼望能够取各家之长的初衷是为了教会学生更多的东西，可是如果只是简略的拼凑，没有调理、没有分类和归纳，那么只会把学生弄得一头雾水。有的学生经常会说，上课听老师讲都明确，怎么自己做起题目来总会碰到问题。这时我会告诉他们，症结在于没有把老师讲的东西经过消化、理解、处置后转化为自己能够控制的东西。其实从某种角度讲，我自己也曾犯过这样的过错，这本书上这个例题好，那本书上那个方法好，把它们统统拿过来，拼命塞给学生。经过一段时间的学习和思考，我发现教师对问题的剖析、理解、归纳是否到位，直接影响到学生的控制情况。
另外，作为有一定工作时间的教师，不能仅仅停留于已有的造诣上，不能满足于已经做得熟烂的题目、习惯成套路的教学方法，应当不断的学习新的理念和知识，从更高的层次要求自己。面对新的环境、新的学生，在经常反思的基础上进行不断的创新，做到“常学常新”、“长教长新”。只有这样才干拥有“一泉活水”，而不是“一桶死水”。受益的不仅是自己，更重要的是我们的学生。
到这里，我忍不住又有翻阅这本书的冲动。即使是同一篇课例，每次读完，都有不同的感受，我想这就是学习——反思——实践——再学习的收获吧。
正如张奠宙教授在本书的封面上的题词“没有宏论却发人沉思”，陈教授用几近口语化的朴素语言，对四十九个案例进行了微观的“评”和宏观的“议”，最后还语重心长地给了青年教师寄语，盼望青年教师“早日成熟”。学习过这本书，不仅留给我很多的思考，更让我体会到一位老教育工作者对教学事业的孜孜以求，对细节的一丝不苟，对青年教师的一腔热情和忘我奉献。
一本好书如同一杯佳酿，越品越有味道，越品越香浓。我想我会把这份感觉带到日常的教学工作中去，让这本“真经”融入到自己的思想中去，成为一名有自己教育理念、教育思想、教学特色的专业化教师。
学到的不仅仅是评课——《陈永明评议数学课》读后感小学数学教学要器重“质疑”
爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”世界上许多发明发明都源于“疑问”、“质疑”是开启创新之门的钥匙。由此可见，“质疑”应成为教学过程中必不可少的环节。那么，在课堂教学中如何培育学生质疑问难的能力呢？
一、创设质疑气氛
“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”但是，目前的课堂教学中许多教师还是串讲串问，牵着学生走，没有留给学生积极思维的空间。要将“质疑”引入课堂，教师首先要更新观念，明确提问不仅是教师的权利，更应当是学生的权利。教师应引导学生在学习新知的基础上，勇敢质疑，积极摸索。由于学生间存在着个别差异，在质疑问难时，往往不能提在点子上、症结处。这时，教师应以激励为主，排除学生的畏惧心理，激发他们质疑问难的热情。如果遇到学生没有问题或提不出有价值的问题时，教师应有意识地与学生互换角色，提出重点问题，同时施展小组协作精力，让学生自由讨论，尝试解答。久而久之，就形成了宽松、活泼的质疑气氛。
二、教给方法，让学生有“疑”可质
从心理学角度说，好问和好奇是儿童的天性，是儿童求知欲的表现。教师要善于利用儿童这份天性，教给质疑方法，让学生学会把学习过程中有价值的疑难问题提出来。可让学生这样想：概念：为什么这样表述？能否增加或删改一些字词？在概念内涵的挖掘，外延的拓展上质疑。例如，在教学“分数的意义”时，引导学生对分数含义的症结词质疑，如“为什么单位‘l’的‘l’字要加引号？”盘算：有没有更简便的方法，在“理”字上下工夫质疑。例如，在教学“一个数除以小数”56.28÷0.67时，可质疑“为什么一定要把除数转化成整数，而不是把被除数化为整数？”利用题：列式的依据是什么？力求寻找更好的解法。例如，在教学“分数工程问题”时，可问“为什么可以用单位“l”来代替具体的数据。”教学时要激励学生对任何一个问题都去摸索，或提出与众不同的见解，甚至提出其他学生或老师一时也想不到的问题，这是学会质疑的症结。有时学生质疑的涉及面广，显得“多而杂”。这<时>时老师要组织学生讨论，哪些问题问得好，哪些问题不着边际，不是教材的内容和重点，引导学生逐步由“多而杂”变为“少而精”。只要引导得法，学生就能有所发现，逐渐学会质疑。
三、明确目的，处置质疑、释疑的关系
“疑难”对学生来说是暂时还不可能甚至是完全没有能力排除的。“有疑者却要无疑，到这里方是长进。”学生发现、提出了问题，怎样解决？这是教学中必须解决的问题。质疑是手腕，释疑才是目的。如果对学生的质疑置之不理，将压抑学生的积极性，释疑的方法不妥，也将影响质疑问难的作用。面对学生的质疑教师不要急于答复，更不能轻易否定，如果把问题交给学生去讨论，老师起组织作用，得出精确结论必然会发生更深入的效果。
例如，在教学“平行”概念时，生问：“为什么要在同一平面内？”师：“（若有所思）是啊这正是今天这节课我们要学习研讨的问题之一，这个问题谁来口答？”老师的话既确定了这个学生的发问，又唤起了全体学生摸索的热情。
四、施展主导作用，做好质疑
要使学生做到非“疑”不质，是“难’才问，要注意如一下控制：
时间控制。首先，要把握质疑的机会，特殊在讲解课时和新课停滞后，让学生质疑。其次，质疑时要留给学生充分的思考时间，才干有所发现。三是，准许学生有疑就问，不懂就问，不要怕打乱原来的教学程序。四是，要防止时间不够，学生“问”一无所得，或尚未“解惑”，流于情势走过场。
对象控制。质疑问难要面向全体学生，“好、中、差”统筹，尤其要激励差生质疑。学困生有自卑感，即使不懂，一般也不敢问，这样得不到及时补救，以后问题越积越多，更无从问起了。
范围控制。要保证质疑问难的质量，既要拓宽内容、范围，又要进行范围控制，不能漫无边际，要做些思维方向的引导，让学生的思考集中在要学的知识点上。实践证明，做好有效控制才干使学生提出有效的问题，这是培育学生质疑能力的重要办法。
小学数学教学要器重“质疑”